Про застосування одної модульної нерівності до теорії відображень

Вивчаються відображення, які задовольняють деяку оцінку спотворення модуля сімей. Нами встановлено, що за певних умов на області, між якими діють відображення, ці відображення задовольняють умови типу логарифмічної неперервності за Гельдером у межових точках. Неперервність за Гельдером встановлена для багатьох класів відображень, скажімо, для квазіконформних і квазірегулярних відображень. З цього приводу можна вказати на класичні оцінки спотворення типу Мартіо–Рікмана–Вяйсяля, а також оцінки, які відносяться до сучасних класів відображень зі скінченним спотворенням. Зокрема, В.І. Рязановим разом із Р.Р. Салімовим та Є.О. Севостьяновим встановлені локальні оцінки спотворення відстані при плоских і просторових відображеннях за умови типу FMO, або інтегральної умови типу Лехто у фіксованій точці. Нещодавно другим співавтором отримана логарифмічна неперервність за Гельдером для класу, що вивчається, в точках одиничної сфери. В даній статті розглядається ситуація аналогічних відображень різних областей, а не тільки одиничної кулі. Саме, в прообразі при відображенні ми розглянемо області квазіекстремальної довжини, а в образі – опуклі області. Зауважимо, що області квазіекстремальної довжини (скорочено – QED-області), впроваджені Герінгом і Мартіо, є структурами, в котрих модуль сімей кривих метрично пов'язаний з діаметром множин. Також у формулюванні основного результату задіяні опуклі області; ми розглядаємо відображення, що сюр'єктивно діють на них. Крім того, в статті сформульовані і доведені деякі інші результати на цю тему. Ми докладно розглядаємо ще декілька випадків, зокрема коли: 1) областю визначення відображення є область з локально квазіконформною межею, а областю значень є обмежена опукла область; 2) областю визначення відображення є регулярна область в сенсі простих кінців, а областю значень є обмежена опукла область; 3) відображення діє між QED-областю та обмеженою опуклою областю і має фіксовану точку. В усіх трьох випадках відображення є локально логарифмічно гельдеровим; причому, у випадку 2), який відноситься до простих кінців, логарифмічну неперервність так само слід розуміти в термінах простих кінців.