Про гомеоморфізми з інтегральними обмеженнями, які діють в області з нерівностями Пуанкаре

Ми досліджуємо гомеоморфізми з одною умовою нормування, що переводять деяку область евклідового простору в область, регулярну за Альфорсом, та у якій виконується нерівність Пуанкаре. Ми припускаємо, що гомеоморфізми задовольняють вагову модульну нерівність Полецького. Доведено, що якщо мажоранта в цій умові задовольняє деяке співвідношення, записане в термінах сингулярних параметрів, то вказані гомеоморфізми задовольняють відповідну оцінку спотворення відстані у межових точках, записану в їх термінах. Більш докладно, рукопис написаний у руслі досліджень відображень з обмеженим і скінченним спотворенням, які активно вивчаються останнім часом. На разі оцінки щодо спотворення відстані відображень з прямою та оберненою нерівністю Полецького у внутрішніх точках області можна вважати добре відомими, оскільки такі оцінки були отримані різними авторами протягом останніх 10-15 років. Ми могли б, зокрема, вказати на результати В. Рязанова, О. Мартіо, У. Сребро, Е. Якубова, М. Крісті, Є. Севостьянова, С. Скворцова та О. Довгопятого з цього приводу. Слід відзначити, що за певних додаткових припущень відображення з прямою нерівністю Полецького включаються в клас відображень зі скінченним спотворенням за Іванцем-Мартіном. У той же самий час, згадані вище оцінки спотворення відстані у межових точках області вивчені не в достатній мірі. Наш рукопис присвячено саме отриманню такого роду оцінок. Звісно, ми вимагаємо, щоб мажоранта у нерівності Полецького задовольняла певні вимоги для їх отримання. Умови, записані в термінах сингулярних параметрів, є максимально зручними і охоплюють важливі частинні випадки. Зокрема, функції скінченного та обмеженого середнього коливання за Джоном-Ніренбергом, а також функції з інтегральною умовою розбіжності типу Лехто можуть бути описані в термінах сингулярних параметрів, і це буде враховано у наших майбутніх дослідженнях. Окрім сингулярних параметрів та використання модульної техніки, ключовим моментом нашого рукопису є простори з нерівностями Пуанкаре. Зауважимо, що однією з характерних рис таких просторів є виконання у них нерівностей типу Льовнера, тобто, метричних нижніх оцінок модуля сімей кривих через діаметр множин, які вони з'єднують. Ця нерівність є вирішальною для отримання результату статті.